(CFO 02) 1) Se x = 2,6666... ; y = 0,999... e z = 1,3555..., então a expressão z-1 . x + y1/2 é igual a :
A. 360/999
B. 181/61
C. 183/90
D. 488/89
Resolução:
Substituindo os valores das respectivas variáveis x, y e z na expressão
z-1.x + y1/2, obtemos:
(1,3555...)-1 . 2,6666... + 0,99991/2…
Para resolvermos tal expressão, é conveniente colocarmos as dízimas periódicas em forma de fração.
Um dos métodos para se fazer isto, sem aquela decoreba toda, seria:
Peguemos o número 1,3555...
Seja “a” igual a 1,3555..., então façamos
a = 1,3555...
1) multiplicamos os dois lados da igualdade por 10.
10a = 13,5555...
2) Agora pegamos esta última igualdade e multiplicamos por 10, novamente.
100a = 135,5555...
Efetuamos a subtração entre estas duas equações obtidas:
100a – 10a = 135,5555... – 13,5555...
Note que a parte decimal será anulada.
Logo:
90a = 122
a = 122/90
que pode ser simplificada por
a = 61/45
Seja b = 2,666....
1) Multiplicamos os dois lados da igualdade por 10.
10b = 26,666...
Note que não haverá necessidade de multiplicarmos novamente por 10, pois ao efetuarmos a subtração desta equação com a equação b = 2,666... a parte decimal será anulada de imediato. Portanto,
10b – b = 26,666... – 2, 6666...
9b = 24
b = 24/9 simplificando por 3
b = 8/3
para o número 0,999... o processo é idêntico ao processo supracitado.
c = 1 ( de fato 0,9999999... é uma das maneiras de se representar o número 1)
Agora facilitou bastante a resolução da expressão:
(61/45)-1 . 8/3 + 11/2
45/61 . 8/3 + 1
120/61 + 1
181/61
Portanto, é a letra B.
(CFO 02) 2) No desenvolvimento do binômio ( 2 x 2 – x1/2 ) 31 , o coeficiente de x20 é :
A . 11.356
B. 24.775
C. 35.960
D. 33.250
Resolução:
Vamos recapitular um pouco sobre binômio de Newton
( a + b)0=1 (todo número elevado a zero é igual a 1)
( a + b)1= a + b
( a + b)2= a2 + 2ab + b2
( a + b)3= a3 + 3a2b 3ab2 b3
( a + b)4=a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
.
.
.
( a + b)n= ( n 0 ) b0an + ( n 1) b a(n-1)+ ( n 2 ) b2 a(n-2) ... (n (n-1)) b(n-1) a +(n n)bna0
Equivalente à igualdade abaixo.
Não se assuste com o que você está vendo acima, não é tão difícil quanto parece.
Para uma melhor compreensão, seria bom dar uma olhada em análise combinatória, especificamente, combinações (permutações cuja ordem dos elementos não importa), bem como binômio de Newton e triângulo de Pascal (ou Tartaglia).
Os coeficientes binomiais são aqueles números entre parênteses,
( n 0 ), ( n 1 )
Contudo, esta questão foi maudosa, pois o coeficiente em questão é o de x, e não um coeficiente binomial, isto implica que ao multiplicarmos os dois elementos do binômio, aplicamos a propriedade de potências de mesma base ( para calcularmos o produto entre potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes).
Agora vamos atacar o problema, colocando o binômio ( 2 x 2 – x1/2 ) 31 na forma em que
conseguimos resolvê-lo, sem nos preocuparmos com o sinal negativo ou com a incógnita presente nos dois elementos, de maneira que o produto entre tais elementos resulte em x20, consequentemente, encontraremos o valor do coeficiente.
( 31 z ) (-x1/2) z ( 2 x 2) (31-z)
Potência de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.
(x1/2 )z ( 2 x 2) (31-z)
x(z/2 + 62 – 2z) = x20
z/2 + 62 - 2z = 20
3/2z = 42
Z = 28
Logo,
( 31 28 ).(2)3.x20
[31!/(28!(31-28)!] (8)
4495 . 8 = 35 960
Portanto, a resposta é a letra C
(CFO 02) 3) Certa mercadoria foi aumentada em 30% e posteriormente reduzida em 20%. Qual a variação de preço ocorrida em relação ao valor inicial:
A. Aumentou de 4%
B. Aumentou de 10%
C. Reduziu de 4%
D. Nula
Resolução:
Seja X0 o valor inicial da mercadoria em questão.
Aumenta-se em 30% o valor inicial.
X0 + 30/100X0
130/100X0 (este é o valor após o aumento)
Após o aumento o valor da mercadoria foi reduzido em 20%
130/100X0 – 20/100(130/100X0)
1,3X0 – 0,2(1,3X0)
1,3X0 – 0,26X0
1,04X0
Seja X = 1,04X0 o valor da mercadoria após o aumento seguido da redução.
Para encontrarmos o valor da variação, basta subtrairmos o valor final pelo valor inicial, se o resultado encontrado for positivo, então a mercadoria sofreu um aumento, caso contrário, ela sofreu uma redução.
Variação = 1,04X0 – X0
Variação = 0,04X0
Colocando 0,04 na forma percentual, encontramos 4/100, ou seja, equivale a 4% (valor positivo)
Concluímos que a mercadoria sofreu um aumento de 4%.
A assertiva correta é a letra A.
(CFO 02) 4) Sejam duas esferas formadas do elemento químico Tungstênio de raios R1 e R 2. A área da superfície esférica da primeira é igual ao dobro da segunda, então o valor da razão entre os volumes das esferas de Tungstênio é :
A. 3(3)1/3
B. 2(2)1/2
C. 3(5)1/2
D. (3/5)(2)1/2
Resolução:
A área de uma superfície esférica é dada por A = 4πr2 e o seu volume é V = 4/3πr3
Seja A1 = 4πR12 a área da superfície de raio R1 e A2 = 4πR22 a área da superfície de raio R2
Foi dado que A1 = 2A2
Então,
4πR12 = 8πR22
R1 = (2)1/2 R2
Seja V1 e V2 os volumes das esferas cujos raios medem R1 e R2, respectivamente.
V1 = (4/3)πR13 , como R1 = (2)1/2 R2, então V1 = ( 4/3)π( (2)1/2 R2)3
V2 = (4/3)πR23
Façamos V1/V2 (razão entre os volumes das superfícies, ou seja, divisão entre eles).
Razão =( 21/2) 3 (note que os outros valores resultaram no algarismo 1, restando somente a raiz quadrada de 2 ao cubo.)
Portanto, a razão será igual a 2(2)1/2
Resposta letra B
(CFO 02) 5) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
A. sen (7π)/4 < cos (7π)/4 < tg (7π)/4
B. cos (7π)/4 < sen (7π)/4 < tg (7π)/4
C. tg (7π)/4 < sen (7π)/4 < cos (7π)/4
D. tg (7π)/4 < cos (7π)/4 < sen (7π)/4
Resolução:
Para resolvermos esta questão é importante conhecermos o círculo trigonométrico.
( a representação acima do círculo trigonométrico é só a título de ilustração, em nada tem a ver em relação à questão).
Percebemos que o valor do seno é negativo, bem como o da tangente.
Note que o comprimento do segmento representando a tangente é maior que o do seno, como ambos são negativos, então a tangente será menor que o seno, que por sua vez será menor do que o cosseno, pois este é positivo.
Para melhor compreensão, dê uma olhada em círculo trigonométrico e conclua que esta questão é mais tranquila do que se possa imaginar.
Resposta: letra C.
(CFO 02) 6) Os valores de 𝛼, onde 0 < 𝛼 < π e 𝛼 ≠ π/2 para os quais a função f(x) = 2x2 - 3x – 2tg2𝛼 assume seu valor mínimo igual a – 4 são:
A. π/2 e π/4
B. π/4 e (3 π)/4
C. π/6 e (3π)/2
D. π e 2 π
Resolução:
Esta questão pode ser resolvida por eliminação, pois a letra A possui como resposta π/2, e segundo o enunciado alfa é diferente deste número, até porque a tangente de π/2 é indefinida (não existe).
Na letra C pelo mesmo motivo supra.
Na letra D, também não corresponde aos quesitos do enunciado, 2π é maior que π, bem como alfa é diferente de π.
Portanto, restou-nos a letra B.
Contudo, resolvendo a questão pela forma habitual, encontramos:
Valor mínimo é dado por -𝜟/4a ( será valor mínimo, pois a parábola possui concavidade voltada para cima, tendo em vista o valor de a ser maior do que zero).
Então:
(-9 – 16 tg2𝛼)/8 = -4
tg 𝛼 = (23)1/2/4
α = arc tg 231/2/4
Observamos que a questão, não possui resposta satisfatória.
(Questão anulada)
(CFO 02) 07) Quantos números compõem o conjunto solução da inequação
m < log 25 – log 50 + log 4 – log 2, sendo{m ε Z* / -6 ≤ m< 6} ?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Resolução:
Vamos recapitular algumas propriedades de logaritmos, especificamente, soma e subtração dos logaritmos de mesma base.
logA – logB = log(A/B)
logA + logB = log(AB)
Agora, apliquemos as propriedades supracitadas na inequação em questão.
m < log(25/50) + log(4/2)
m < log(1/2) + log2 (apliquemos a propriedade do produto)
m < log((1/2).2)
m < log1
logo, m < 0, pois log1 = 0
sendo{m ε Z* / -6 ≤ m< 6}
então teremos como soluções, os números:
-1; -2; -3; -4; -5; -6
Portanto, teremos 6 números que compõem o conjunto solução da inequação.
Letra C.
(CFO 02)
08) O valor de sen 22º 30’ x cos 22º 30’ é :
A. 21/2/2
B. 21/2/4
C. 2 - 21/2
D. 2 + 21/2
Resolução:
Para resolvermos esta questão, é necessário conhecermos uma importante relação trignométrica:
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
Agora, no lugar de a e b basta atribuirmos os valores correspondentes aos ângulos de seno e cosseno, fica assim:
sen (22°30’ + 22°30’) = sen(22°30’)cos(22°30’) + sen(22°30’)cos(22°30’)
sen (22°30’ + 22°30’) = 2 [sen(22°30’)cos(22°30’)]
note que 30’ + 30’ = 1°, então
sen (45°) = 2[sen(22°30’)cos(22°30’)]
(2)1/2/2 = 2[sen(22°30’)cos(22°30’)]
sen(22°30’)cos(22°30’) = 21/2/4
letra B
10ª QUESTÃO – Um determinado Banco envia aos seus correntistas extratos bancários gráficos das aplicações financeiras. Analisando o extrato gráfico abaixo de uma aplicação de R$ 1.000,00 a juros compostos, com uma taxa fixa de 10% ao mês durante os primeiros três meses, podemos estimar que ao final de 4 meses o montante obtido foi de:
Extrato Gráfico
Banco Modelo
Demonstrativo de investimentos : Poupança
A. R$ 1.464,10.
B. R$ 1.513,96.
C. R$ 1.501,23.
D. R$ 1.483,21.
Resolução:
Comecemos a partir do terceiro mês, para facilitar:
1331 + 0,1*1331 = 1464,10
Letra A
Poderíamos, outrossim, resolver esta questão com o auxílio da fórmula de juros compostos. Ficaria assim:
M = 1000(1,1)4
M = 1464,10
Letra A
